已知数列满足：，求得值；设，试求数列的通项公式；对任意的正整数，试讨论与的大小关系。

题文

（本小题满分13分）
已知数列

满足：

，




（I）                   求

得值；
（II）                 设

，试求数列

的通项公式；
（III）    对任意的正整数

，试讨论

与

的大小关系。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）5，5，8（Ⅱ）

（III）

解析

（Ⅰ）∵

，

，

，

，
∴

；

；

.   ………………3分
（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数

，都有：

，
∴

.∴数列

是以

为首项，

为公差的

等差数列.
∴

.       …………………………………………………

………7分
（Ⅲ）对于任意的正整数

，
当

或

时，

；
当

时，

；
当

时，

.      ……………………………………8分
证明如下：
首先，由

可知

时，

；
其次，对于任意的正整数

，


时，

；
…………………9分


时，





所以，

.                                              …………………10分


时，





事实上，我们可以证明：对于任意正整数

，

（*）（证明见后），所以，此时，

.
综上可知：结论得证.                                                             …………………12分
对于任意正整数

，

（*）的证明如下：
1）当

（

）时，


，
满足（＊）式。
2）当

时，

，满足（＊）式。
3）当

时，



于是，只须证明

，如此递推，可归结为1）或2）的情形，于是（＊）得证.
…………………14分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分13分）已知数列满足：，（I.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．