在数列和中，已知，其中且。若，求数列的前n项和；证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；设集合，试问在区间[

题文

（本小题满分14分）
在数列

和

中，已知

，其中

且

。
（I）若

，求数列

的前n项和；
（II）证明：当

时，数列

中的任意三项都不能构成等比数列；
（III）设集合

，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得

，若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

（2）略（3）b=1

解析

（I）因为

          …………1分
由


所以

                                           …………3分
因为

                                 …………4分
所以

是等差数列，                             …………4分
所以数列

…………5分
（II）由已知


假设

成等比数列，其中

，且彼此不等，
则

                         …………6分



可得

矛盾。                                          …………7分


为无理数，
所以

是整数矛盾。  …………9分


所以数列

中的任意三项都不能构成等比数列。
（III）设存在实数

，



所以

整除。                                          …………10分
（1）当


所以

                                                  …………11分
（2）当

，



所以，当且仅

当

整除。          …………12分
（3）当

时，





整除。                                                …………13分
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使

成立，且当b=1时，



…………14分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）在数列和中，已知，其.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．