数列{bn}的首项b1=1，前n项和为Sn，点、都在二次函数y=ax2+bx的图象上，数列{an}满足bnan=2n．求证：数列{

题文

数列{b_n}的首项b₁=1，前n项和为S_n，点（n，S_n）、（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上，数列{a_n}满足bnan=2ⁿ．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=（1-1n+1）1an，R_n=1c1+1c2+1c3+…+1cn．试比较R_n与5n2n+1的大小，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：∵b₁=1，∴S₁=1
∴点（1，1）、（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上
∴a+b=1，16a+4b=10，解得a=12，b=12．
∴S_n=12n²+12n．则n≥2时，S_n-1=12（n-1）²+12（n-1）．
∴b_n=S_n-S_n-1=12n²+12n-[12（n-1）²+12（n-1）]=n（n≥2）．
又b₁=1也适合，所以b_n=n（n∈N₊）．则b_n-b_n-1=1．
∴数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
又bnan=2ⁿ ∴a_n=bn2n=n2n．
（Ⅱ）证明：∵c_n=（1-1n+1）1an=nn+1•2nn=2nn+1∴1cn=n+12n
∴R_n=1c1+1c2+1c3+…+1cn=1+12+2+122+3+123+…+n+12n①．
∴12R_n=1+122+2+123+3+124 +…+n+12n+1，②
两式相减得12R_n=1+12+122+123+…+12n -n+12n+1
∴R_n=3-3+n2n，R_n-5n2n+1=(n+3)(2n-2n-1)2n(2n+1)．
所以只需要比较2ⁿ与2n+1的大小即可．
当n=1时，2ⁿ＜2n+1，所以R_n＜5n2n+1，
当n=2时，2ⁿ＜2n+1，所以R_n＜5n2n+1，
当n≥3时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n++n+1＞2n+1，所以R_n＞5n2n+1．（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{bn}的首项b1=1，前n项和为S.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．