题文
如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若AE=mAB，AF=nAC，m，n∈（0，1）．设EF的中点为M，BC的中点为N．（1）若A，M，N三点共线，求证m=n；
（2）若m+n=1，求|MN|的最小值．
题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由A，M，N三点共线，得AM∥AN，设AM=λAN(λ∈R)，
即12(AE+AF)=12λ(AB+AC)，
所以mAB+nAC=λ(AB+AC)，
所以m=n．
（2）因为MN=AN-AM=12(AB+AC)-12(AE+AF)=12(1-m)AB+12(1-n)AC，
又m+n=1，
所以MN=12(1-m)AB+12mAC，
所以|MN|2=14(1-m)2AB2+14m2AC2+12(1-m)mAB•AC
=14(1-m)2+14m2+14(1-m)m=14(m-12)2+316
故当m=12时，|MN|min=34．
解析
AM考点
据考高分专家说，试题“如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，.....”主要考查你对 [向量共线的充要条件及坐标表示 ]考点的理解。 向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量
与
共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得
。
向量共线的几何表示：
设
，其中
，当且仅当
时，向量
共线。
向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
