设P，Q为△ABC内的两点，且AP=mAB+nAC(m，n＞0)AQ=pAB+qAC(p，q＞0)，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为______．

题文

设P，Q为△ABC内的两点，且AP=mAB+nAC   (m，n＞0)AQ=pAB+qAC   (p，q＞0)，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设P到边AB的距离为h₁，Q到边AB的距离为h₂，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为h1h2，
设AB边上的单位法向量为e，AB•e=0，
则h₁=|AP•e|=|（mAB+nAC）•e|=|m•AB•e+nAC•e|=|nAC•e|，
同理可得h₂=|qAC•e|，
∴h1h2=|nq|=nq，
故答案为 n：q．

解析

h1h2

考点

据考高分专家说，试题“设P，Q为△ABC内的两点，且AP=mA.....”主要考查你对 [向量共线的充要条件及坐标表示 ]考点的理解。 向量共线的充要条件及坐标表示

向量共线的充要条件：

向量

与

共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得

。

向量共线的几何表示：

设

，其中

，当且仅当

时，向量

共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：

(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.