已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA=2OB，OA•

题文

已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA=2OB，OA•OC=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：B、P、N三点共线；
（3）求△BMN面积的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意得A（a，0），B（a2c，0，又OA=2OB⇒a2c=a2…①
由x=a2cy=bax⇒C(a2c，abc). ∴OA•OC=2⇒a2c=2…②
联立①、②，得a=2，c=4
∴双曲线的方程为x24-y212=1．
（II）由（I），得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4
由x24-y212=1x=ty+4⇒（3t²-1）y²+24ty+36=0
∴BP=(x1-1，-y1)， BN=(x2-1 ，y2)
∵（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₂
-(y1+y2)=2ty1y2+3(y1+y2)=2t•363t2-1+3•-24t3t2-1=0
∴向量BP与BN共线，∴B、P、N三点共线．
（III）∵直线l与双曲线右支相交于M、N两点
∴x₁x₂=（ty₂+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16
=t2•363t2-1+4t•-24t3t2-1+16＞0⇒3t2+43t2-1＜0⇒t2＜13
∴S△BMN=12|BF|• |y1-y2|=32(24t)2-4•36•(3t2-1)|3t2-1|
=181+t2|3t2-1|=181+t21-3t2=633+3t21-3t2
令u=1-3t²，u∈（0，1]
∴S△BMN=63•4-uu=63•4u2-1u=63•4(1u-18)2 -116
由u∈（0，1]⇒1u∈[1，+∞)
∴当1u=1，即t=0时，△BMN面积最小值为18．

解析

a2c

考点

据考高分专家说，试题“已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0.....”主要考查你对 [向量共线的充要条件及坐标表示 ]考点的理解。 向量共线的充要条件及坐标表示

向量共线的充要条件：

向量

与

共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得

。

向量共线的几何表示：

设

，其中

，当且仅当

时，向量

共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：

(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.