设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=4an+2(n∈N*)，设bn=an2n，求证：数列{bn}是等差数列；求数列{an}的通项公

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=1，Sn+1=4an+2(n∈N*)，
（Ⅰ）设bn=an2n，求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由s_n+1=4a_n+2，得n≥2时s_n=4a_n-1+2…（2分）
两式相减得 a_n+1=4a_n-4a_n-1     …（4分）
等式两边同除以2ⁿ⁺¹得，an+12n+1=4an2n+1-4an-12n+1，
即an+12n+1=2an2n-an-12n-1，
由bn=an2n得b_n+1=2b_n-b_n-1，所以b_n+1+b_n-1=2b_n．
所以{b_n}是等差数列．…（7分）
（II）根据等差数列求得b1=a12=12，S₂=a₁+a₂=4a₁+2，所以a₂=5，
所以b2=a24=54，所以公差d=b2-b1=54-12=34，
所以bn=12+34(n-1)=34n-14．
代入a_n=2ⁿ•bⁿ得 an=(3n-1)•2n-2…（13分）

解析

an+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=.....”主要考查你对 [向量共线的充要条件及坐标表示 ]考点的理解。 向量共线的充要条件及坐标表示

向量共线的充要条件：

向量

与

共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得

。

向量共线的几何表示：

设

，其中

，当且仅当

时，向量

共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：

(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.