题文
已知{i，j，k}是空间的一个基底设a1=2i-j+k，a2=i+3j-2k，a3=-2i+j-3k，a4=3i+2j+5k．试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4=λa1+μa2+υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明． 题型：未知 难度：其他题型答案
解 假设存在实数λ，μ，υ使a4=λa1+μa2+υa3成立，则有3i+2j+5k=λ（2i-j+k）+μ（i+3j-2k）+υ（-2i+j-3k）
=（2λ+μ-2υ）i+（-λ+3μ+υ）j+（λ-2μ-3υ）k，
∵{i，j，k}是一组基底，∴i，j，k不共面，
2λ+μ-2v=3-λ+3μ+v=2λ-2μ-3v=5，解得λ=-2μ=1v=-3，
故存在λ=-2，μ=1，υ=-3使结论成立．
解析
a4考点
据考高分专家说，试题“已知{i，j，k}是空间的一个基底设a1.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。 平面向量基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理：
如果
是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量
存在唯一的一对有序实数
使
成立，不共线向量
表示这一平面内所有向量的一组基底。
平面向量的坐标运算：
在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
为基底，则平面内的任一向量
可表示为
，称（x，y）为向量
的坐标，
=（x，y）叫做向量
的坐标表示。
基底在向量中的应用：
(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一．
(2)在平面中选择基底主要有以下几个特点：①不共线；②有公共起点；③其长度及两两夹角已知．(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
用已知向量表示未知向量：
用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：
（1）要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；
（2）把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系；
（3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。
