如图；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=2，AB=6，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设AP=mAD+nAB(m，n∈R)，则m+n

题文

如图；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=2，AB=6，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设AP=mAD+nAB(m，n∈R)，则m+n的取值范围是______．

题型：未知 难度：其他题型

答案

以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（0，2），C（2，2），B（6，0）
直线BD的方程为x+3y-6=0，C到BD的距离d=210=105
∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为（x-2）²+（y-2）²=25，
设P（x，y）则 AP=（x，y），AD=（0，2），AB=（6，0）
∴（x，y）=（6n，2m）
∴x=6n，y=2m，
∵P在圆内或圆上
∴（6n-1）²+（2m-1）²≤25，
解得1≤m+n≤53．
故答案为：[1，53]．

解析

210

考点

据考高分专家说，试题“如图；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。 平面向量基本定理及坐标表示

 

平面向量的基本定理：

如果

是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量

存在唯一的一对有序实数

使

成立，不共线向量

表示这一平面内所有向量的一组基底。

平面向量的坐标运算：

在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量

为基底，则平面内的任一向量

可表示为

，称（x，y）为向量

的坐标，

=（x，y）叫做向量

的坐标表示。

基底在向量中的应用：

(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一．
(2)在平面中选择基底主要有以下几个特点：①不共线；②有公共起点；③其长度及两两夹角已知．(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。

用已知向量表示未知向量：

用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：
（1）要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；
（2）把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系；
（3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。