已知a=，b=．求证：向量a与向量b不可能平行；若f=a•b，且x∈[-π4

题文

已知a=（cosx+sinx，sinx），b=（cosx-sinx，2cosx）．
（1）求证：向量a与向量b不可能平行；
（2）若f（x）=a•b，且x∈[-π4，π4]时，求函数f（x）的最大值及最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）假设a∥b，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
∴2cos²x+sinxcosx+sin²x=0，2•1+cos2x2+12sin2x+1-cos2x2=0，
即sin2x+cos2x=-3，
∴2（sin2x+π4）=-3，与|2（sin2x+π4）|≤2矛盾，
故向量a与向量b不可能平行．
（2）∵f（x）=a•b=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx
=cos²x-sin²x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2（22cos2x+22sin2x）=2（sin2x+π4），
∵-π4≤x≤π4，
∴-π4≤2x+π4≤π4，
∴当2x+π4=π4，即x=π8时，f（x）有最大值2；
当2x+π4=-π4，即x=-π4时，f（x）有最小值-1．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知a=（cosx+sinx，sinx）.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。