已知a，b是非零向量，a与b的夹角为θ，当a+tb的模取得最小值时．求t的值；若a与b同向共线，求证：b⊥(a+tb)．

题文

已知a，b是非零向量，a与b的夹角为θ，当a+tb（t∈R）的模取得最小值时．
（1）求t的值；
（2）若a与b同向共线，求证：b⊥(a+tb)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵|a+tb|=(a+tb)2
=a2+2ta•b+t2b2
=a2+2t|a||b|cosθ+b2t²
=b2(t+|a||b|cosθ)2+|a|sin2θ
根据二次函数的知识可得，当t=-|a||b|cosθ=-|a||b||b|2cosθ=a•b|b|2×（-1）时，|a+tb|取得最小值．
（2）证明：b•(a+tb)=b•(a-a•b|b|2•b)=b•a-a•b|b|2•b2=a•b-a•b=0
∴b⊥(a+tb)．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知a，b是非零向量，a与b的夹角为θ，.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。