从原点出发的某质点M，按向量a=(0，1)移动的概率为23，按向量b=(0，2)移动的概率为13，设M可到达点的概率为Pn．（1

题文

从原点出发的某质点M，按向量a=(0，1)移动的概率为23，按向量b=(0，2)移动的概率为13，设M可到达点（0，n）（n=1，2，3，…）的概率为P_n．
（1）求P₁和P₂的值；
（2）求证：Pn+2-Pn+1=-13(Pn+1-Pn)；
（3）求P_n的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）P₁=23，P2=(23)2+13=79
（2）证明：M点到达点（0，n+2）有两种情况
①从点（0，n+1）按向量a=（0，1）移动
②从点（0，n）按向量b=（0，2）移动
∴Pn+2=23Pn+1+13Pn
∴Pn+2-Pn+1=-13 (Pn+1-Pn)
问题得证．
（3）数列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁为首项，-13为公比的等比数列
Pn+1-Pn=(P2-P1)(-13)n-1=19(-13)n-1=(-13)n+1
∴P_n-P_n-1=(-13)n
又因为P_n-P₁=（P_n-P_n-1）+（P_n-1-P_n-2）+…+（P₂-P₁）
=(-13)n+(-13)n-1+…+(-13)2
=112[1-(-13)n-1]
∴P_n=P_n-P₁+P₁
∴Pn=14×(-13)n+34．

解析

23

考点

据考高分专家说，试题“从原点出发的某质点M，按向量a=(0，1.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。