已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为2-1．求椭圆方程；已知

题文

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x²+y²+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为2-1．
（I）求椭圆方程；
（II）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点M（-54，0），证明：MA•MB为定值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵圆x²+y²+2x=0的圆心为（-1，0），依据题意c=1，a-c=2-1，∴a=2．
∴椭圆的标准方程是：x22+y²=1；
（II）①当直线L与x轴垂直时，L的方程是：x=-1，
 得A（-1，22），B（-1，-22），
MA•MB=（14，22）•（14，-22）=-716．
②当直线L与x轴不垂直时，设直线L的方程为 y=k（x+1）
y=k(x+1)x22+y2=1⇒（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=2k2-21+2k2，x₁+x₂=-4k21+2k2，
MA•MB =（x₁+54，y₁）•（x₂+54，y₂）=x₁x₂+54（x₁+x₂）+2516+k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²+54）（x₁+x₂）+k²+2516=（1+k²）（2k2-21+2k2）+（k²+54）（-4k21+2k2）+k²+2516
=-4k2-21+2k2+2516=-2+2516=-716
综上MA•MB为定值-716．

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。