已知，点B是轴上的动点，过B作AB的垂线交轴于点Q，若,.(1)求点P的轨迹方程；(2)是否存在定直线，以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值，若存在,求出定直

题文

已知

，点B是

轴上的动点，过B作AB的垂线

交

轴于点Q，若


,

.



(1)求点P的轨迹方程；
(2)是否存在定直线

，以PM为直径的圆与直线

的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) y²=x，此即点P的轨迹方程；
(2)存在定直线x=

，以PM为直径的圆与直线x=

的相交弦长为定值

。

解析

(1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t²=

|m|，

 m

0，m=-4t²，


 Q(-4t²，0)，设P(x，y)，则

=(x-

，y)，


=(-4t²-

，0)，2

=(-

，2 t)，



+

=2

。


(x-

，y)+ (-4t²-

，0)= (-

，2 t)，


 x=4t²，y="2" t，

 y²=x，此即点P的轨迹方程； 6分。
(2)由(1)，点P的轨迹方程是y²=x；设P(y²，y)，

M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(

，

), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:
L=2


=2

=2

 10分
若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-

="0," 即a=

时，L=




存在定直线x=

，以PM为直径的圆与直线x=

的相交弦长为定值

。13分
点评：中档题，首先利用几何条件，确定向量的坐标，并运用向量的坐标运算，确定得到抛物线方程。在直线与圆的去位置关系研究中，充分利用了圆的“特征三角形”，确定弦长。

考点

据考高分专家说，试题“已知，点B是轴上的动点，过B作AB的垂线.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。