已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.

题文

已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角. 题型：未知 难度：其他题型

答案

a与b的夹角为60°.

解析

本题考查两个向量垂直的性质以及两个向量的夹角公式的应用．利用啷个向量垂直，数量积等于0，得到两个向量间的关系，代入两个向量的夹角公式求出夹角的余弦值，进而
求出夹角的大小．
解：由已知，（a＋3b）·（7 a－5b）＝0，（a－4b）·（7a－2 b）＝0，
即7a²＋16a·b－15 b ²＝0    ①   7a－30a·b＋8 b ²＝0           ②
①－②得2a·b＝b²     代入①式得a²＝b² ∴cosθ＝

，
故a与b的夹角为60°.

考点

据考高分专家说，试题“已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。