已知, 是平面上一动点, 到直线上的射影为点，且满足求点的轨迹的方程；过点作曲线的两条弦, 设所在直线的斜率分别为, 当变化且满

题文

（本小题满分13分）
已知

,

是平面上一动点,

到直线

上的射影为点

，且满足


（Ⅰ）求点

的轨迹

的方程；
（Ⅱ）过点

作曲线

的两条弦

, 设

所在直线的斜率分别为

, 当

变化且满足

时，证明直线

恒过定点，并求出该定点坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) y²="4x" (2) 直线AB经过(5,-6)这个定点

解析

解： （Ⅰ）设曲线C上任意一点P(x,y), 又F(1,0)，N(－1,y),从而

 


,

,


化简得y²="4x," 即为所求的P点的轨迹C的对应的方程.         ………………4分
（Ⅱ）设

、

、

、


将MB与

联立，得：


∴

         ①
同理

       ②
而AB直线方程为:

，即

  ③
………………8分
由①②:y₁+y₂=


代入③，整理得

恒成立………………10分
则

 故直线AB经过(5,-6)这个定点.. ………………13分
点评：解决该试题的关键是利用设点，得到关系式，然后坐标化，进而化简得到轨迹方程。属于基础题。

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分13分）已知, 是平面上一动.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。