题文
平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，一2），点C满足
，其中
，且
．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与椭圆
交于两点M,N，且以MN为直径的圆过原点，求证：
为定值；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于
，求椭圆长轴长的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
。
（2）由
以MN为直径的圆过原点O，
为定值。
（3）椭圆长轴的取值范围是
。
解析
（1）设
，由
可得
有
，即点C的轨迹方程为
4分
（2）由
设
则
∵以MN为直径的圆过原点O，
为定值 9分
（3）
∴椭圆长轴的取值范围是
12分
点评：中档题，本题求轨迹方程，主要运用的是平面向量的线性运算及向量的坐标运算和向量的相等。研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往应用韦达定理，通过“整体代换”，简化解题过程，实现解题目的。
考点
据考高分专家说，试题“平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。
