题文
已知椭圆C：
＋
＝1(a＞b＞0)的离心率e＝
，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为
的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交
轴于点N，M,若直线OT与过点M，N 的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
＋y2＝1 ；(2) ∠EF2F是锐角；(3)线段OT的长度为定值2.
解析
（1）因为椭圆C的离心率e＝
，故设a＝2m，c＝
m，则b＝m,直线A2B2方程为 bx ay ab＝0,所以
＝
，解得m＝1,故椭圆方程为
＋y2＝1； (2)联立椭圆和直线方程解出交点坐标E(
，
)，F(
，
) ，根据向量数量积为正可判断∠EF2F是锐角；(3)由（1）可知A1(0，1)A2(0，1),设P(x0，y0), 直线PA1：y 1＝
x，令y＝0,得xN＝
，直线PA2：y＋1＝
x，令y＝0,得xM＝
，接下来有两种方法，解法一，设圆G的圆心为(
(
)，h),利用圆的方程和勾股定理求解；解法二，OM·ON＝|(
)·
|＝
，利用切割线定理得求解.
试题解析：（1）因为椭圆C的离心率e＝
，
故设a＝2m，c＝
m，则b＝m．
直线A2B2方程为 bx ay ab＝0，
即mx 2my 2m2＝0．
所以
＝
，解得m＝1．
所以 a＝2，b＝1，椭圆方程为
＋y2＝1． 5分
由
得E(
，
)，F(
，
)． .7分
又F2(
，0)，所以
＝(
，
)，
＝(
，
)，
所以
·
＝(
)×(
)＋
×(
)＝
＞0．
所以∠EF2F是锐角． 10分
（3）由（1）可知A1(0，1) A2(0， 1),设P(x0，y0),
直线PA1：y 1＝
x，令y＝0,得xN＝
；
直线PA2：y＋1＝
x，令y＝0,得xM＝
； 12分
解法一:设圆G的圆心为(
(
)，h),
则r2＝[
(
)
]2＋h2＝
(
＋
)2＋h2．
OG2＝
(
)2＋h2．
OT2＝OG2 r2＝
(
)2＋h2
(
＋
)2 h2＝
． .14分
而
＋y02＝1，所以x02＝4(1 y02)，所以OT2＝4，
所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. 16分
解法二:OM·ON＝|(
)·
|＝
,
而
＋y02＝1，所以x02＝4(1 y02)，所以OM·ON＝4．
由切割线定理得OT2＝OM·ON＝4．
所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. 16分
考点
据考高分专家说，试题“已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。
