已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．

题文

已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若

＝a，

＝b，求△ABC的面积． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）θ＝

（2）

（3）3

解析

(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|²－4a·b－3|b|²＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.
∴cosθ＝

.
又0≤θ≤π，∴θ＝

.
(2)可先平方转化为向量的数量积．
|a＋b|²＝(a＋b)²＝|a|²＋2a·b＋|b|²
＝4²＋2×(－6)＋3²＝13，
∴|a＋b|＝

.
(3)∵

与

的夹角θ＝

，
∴∠ABC＝π－

＝

.
又|

|＝|a|＝4，|

|＝|b|＝3，
∴S_△ABC＝

|

||

|sin∠ABC＝

×4×3×

＝3

.

考点

据考高分专家说，试题“已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。