题文
在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）
：
与
：
，其中
，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段
，其中
，则称
与
互为正交点列.
（1）求
：
的正交点列
；
（2）判断
：
是否存在正交点列
？并说明理由；
（3）
N，是否都存在无正交点列的有序整点列
？并证明你的结论. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
，（2）不存在，（3）存在.
解析
（1）因为
与
的起点和终点分别相同，所以
，只需求
.由
及
，可解得
本题实质考查对新定义的理解.关键逐条代入验证.（2）与（1）相似，从求
角度出发，能求出来就存在，否则就不存在.首先有
求
时，不是设四个未知数，二是利用向量垂直关系，设三个未知数，即
，因为
相同，所以有
因为
，所以方程组显然不成立，即不存在.
（3）按照（1）的思路，要保证方程组
无解，须使得整数尽量取
，①当
为偶数时，取
.②当
为奇数时，取
,
,就可满足题意.
试题解析：解：
（1）设点列
的正交点列是
,
由正交点列的定义可知
,设
，
，
，
由正交点列的定义可知
,
,
即
解得
所以点列
的正交点列是
. 3分
（2）由题可得
，
设点列
是点列
的正交点列，
则可设
,
因为
相同，所以有
因为
，方程（2）显然不成立，
所以有序整点列
不存在正交点列； 8分
（3）
，都存在整点列
无正交点列. 9分
，设
其中
是一对互质整数，
若有序整点列
是点列
正交点列,
则
，
则有
①当
为偶数时，取
.
由于
是整点列，所以有
，
.
等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列
无正交点列；
②当
为奇数时，
取
,
,
由于
是整点列，所以有
，
.
等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列
无正交点列.
综上所述，
，都不存在无正交点列的有序整数点列
13分
考点
据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。
