已知向量x=，y=，若存在实数k和t，使得a=x+y，b=-kx+ty，且a⊥b．试求函数关系式k=f；

题文

已知向量x=（3，-1），y=（12，32），若存在实数k和t，使得a=x+（t²-3）y，b=-kx+ty，且a⊥b．
（1）试求函数关系式k=f（t）；
（2）若t＞0，且不等式f（t）＞mt²-t恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵x=（3，-1），y=（12，32），
∴|x|=3+1=2，|y|=14+34=1，x•y=0 
∵a=x+（t²-3）y，b=-kx+ty，且a⊥b．
∴a•b=-kx2+t（t²-3）y2=0，即4k+t（t²-3）=0，
∴t³-3t-4k=0，
可得k=f（t）=14（t³-3t），即为所求函数关系式；
（2）不等式f（t）＞mt²-t恒成立，
即14（t³-3t）＞mt²-t在（0，+∞）上恒成立
化简整理，得m＜14（t+1t）在（0，+∞）上恒成立
∵t+1t≥2t•1t=2，当且仅当t=1时，t+1t达到最小值2
∴m＜14×2=12，
即满足对任意的t＞0，不等式f（t）＞mt²-t恒成立的m的取值范围为（-∞，12）

解析

x

考点

据考高分专家说，试题“已知向量x=（3，-1），y=（12，3.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。