已知点P，点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且BP•BA=0，点C满足AC=2BA，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．求曲线E的方程；（2

题文

已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且BP•BA=0，点C满足AC=2BA，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点Q（1，0）且斜率为k的直线l交曲线E于不同的两点M、N，若D（-1，0），且DM•DN＞0，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设A（a，0）（a＜0），B（0，b），C（x，y）（1分）
则AC=（x-a，y），BA=（a，-b），BP=（3，-b）
∵BP•BA=0，AC=2BA
∴3a+b2=0x-a=2ay=-2b（4分）
消去a，b得y²=-4x∵a＜0∴x=3a＜0
故曲线E的方程为y²=-4x（x＜0）（6分）
（2）设直线l方程为y=k（x-1）（7分）
由y=k(x-1)y2=-4x得k²x²-2（k²-2）x+k²=0（8分）
∵直线l交曲线E于不同的两点M、N∴△＞0
即△=4（k²-2）²-4k²k²＞0∴k²＜1①（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则DM=（x₁+1，y₁） DN=（x₂+1，y₂）
∴x1+x2=2(k2-2)k2x1x2=1
∴DM•DN=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=8k2-4k2＞0
解得k²＞12②（11分）
由①②联立解得：12＜k²＜1
∴-1＜k＜-22或22＜k＜1（12分）

解析

AC

考点

据考高分专家说，试题“已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。