已知关于x的方程x2-x+t2+3t+5=0有两个实根，c=a+tb，且a=，b=．若|c|=f，求f（t

题文

已知关于x的方程x²-（t-2）x+t²+3t+5=0有两个实根，c=a+tb，且a=（-1，1，3），b=（1，0，-2）．
（1）若|c|=f（t），求f（t）；
（2）问|c|是否能取得最大值？若能，求出实数t的值，并求出相应的向量b与c的夹角的余弦值；若不能，试说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）∵a=（-1，1，c），着=（1，0，-2），
∴c=a+t着=（-1，1，c）+（t，0，-2t）
=（-1+t，1，c-2t），
∴得（t）=|c|=(t-1)2+1+(c-2t)2
=5t2-14t+11．
（2）∵a=（-1，1，c），着=（1，0，-2）．
∴|a|&n着sp;=11，|着|&n着sp;=5，a•着=-7，
∴|a+t着|2=|着&n着sp;|&n着sp;2t2+2(a•着)t+|a|&n着sp;&n着sp;2
=5t²-14t+5
=5（t-75）²-245
∴当t=75时，|a+t着|最小，
∵关于x的方程x²-（t-2）x+t²+ct+5=0有两个实根，
∴△=[-（t-2）]²-4（t²+ct+5）≥0，
解得4c≤t≤4．
∵75∈[4c，4]，
∴|c|能取得最大值．
当|c|取得最大时，c=a+t着=（-1，1，c）+（75，0，-145）=（25，1，15），
cos＜着，c＞=25+0+(-25)425+1+125•1+0+4=0．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知关于x的方程x2-（t-2）x+t2.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。