已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足OC=OAcosθ+OBcos2θ，则sinθ+sin2θ+sin4θ+sin6θ的最大值是

题文

已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足OC=OAcosθ+OBcos2θ，则sinθ+sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ的最大值是（ ）A．2B．3C．5D．6 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵A、B、C 共线，
∴由OC=OAcosθ+OBcos2θ，
得 cosθ+（cosθ）²=1，（三点共线的充要条件）
∴（cosθ）²=1-cosθ，
cosθ=1-（cosθ）²=（sinθ）²，
且（cosθ）³=cosθ（cosθ）²
=cosθ（1-cosθ）
=cosθ-（cosθ）²
=cosθ-（1-cosθ）
=2cosθ-1，
∴sinθ+（sinθ）²+（sinθ）⁴+（sinθ）⁶
=sinθ+cosθ+（cosθ）²+（cosθ）³
=sinθ+cosθ+（1-cosθ）+（2cosθ-1）
=sinθ+2cosθ
因此，sinθ+sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ的最大值=1+4=5．
故选C．

解析

OC

考点

据考高分专家说，试题“已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。