已知向量OA=(λcosα，λsinα)，OB=(-sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点．若α-β=π6且λ=1，求向量OA与OB的夹角；（Ⅱ

题文

已知向量OA=(λcosα，λsinα)（λ≠0），OB=(-sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若α-β=π6且λ=1，求向量OA与OB的夹角；
（Ⅱ）若不等式|AB|≥2|OB|对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当λ=1时，
OA=（cosα，sinα），OB=（-sinβ，cosβ）
∴|OA|=1，|OB|=1
设向量OA 与OB的夹角为θ，得OA•OB=|OA||OB|cosθ=cosθ
又∵OA•OB=cosα（-sinβ）+（sinα）cosβ=sin（α-β）=sinπ6=12
∴cosθ=12
∵θ∈[0，π]
∴θ=π3
（Ⅱ）|AB|²=|OB-OA|²=|OA|²-2OA•OB+|OB|²=λ²-2λsin（α-β）+1
不等式|AB|≥2|OB|可化为：λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0对任意实数α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1
∴λ2-2λ-3≥0λ2+2λ-3≥0
解得：λ≤-3或λ≥3
∴实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）

解析

OA

考点

据考高分专家说，试题“已知向量OA=(λcosα，λsinα).....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。