设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点．（如

题文

设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点．（如图）
（1）证明：无论P点在什么位置，总有|OP|2=|OQ•OR|(O为坐标原点)；
（2）若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设OP的方程为 y=kx，AR的方程为 y=ba(x-a)，
解得 OR=(-abak-b，-kabak-b)，同理可得 OQ=(abak+b，kabak+b)．
∴|OQ•OR|=|-abak-babak+b+-kabak-bkabak+b|=|a2b2(1+k2)|a2k2-b2|．
设OP=(m，n)，则由双曲线方程与OP方程联立解得：m2=a2b2b2-a2k2，n2=k2a2b2b2-a2k2，
∴|OP|2=m2+n2=a2b2b2-a2k2+k2a2b2b2-a2k2=a2b2(1+k2)b2-a2k2， 
∵点P在双曲线上，∴b²-a²k²＞0，无论点P在什么位置，总有  |OP|2=|OQ•OR|．
（2）由条件得：a2b2(1+k2)b2-a2k2=4ab，即  k2=4b2-abab+4a2＞0，
∴4b＞a，∴e=ca=a2+b2a＞a2+(a4)2a=174，即 e＞174．

解析

ba

考点

据考高分专家说，试题“设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。