设a=，b=，f=a•b，x∈R．若f=0且x∈[-π3，π3]，求x的值．若函数g=

题文

设a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2x），f（x）=a•b，x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈[-π3，π3]，求x的值．
（2）若函数g（x）=cos（ωx-π3）+k（ω＞0，k∈R）与f（x）的最小正周期相同，且g（x）的图象过点（π6，2），求函数g（x）的值域及单调递增区间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f（x）=a•b=2cos²x+3sin2x
=1+cos2x+3sin2x=2sin（2x+π6）+1                      …（3分）
由f（x）=0，得2sin（2x+π6）+1=0，可得sin（2x+π6）=-12，…（4分）
又∵x∈[-π3，π3]，∴-π2≤2x+π6≤5π6                       …（5分）
∴2x+π6=-π6，可得x=-π6                                 …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x+π6）+1，
因为g（x）与f（x）的最小正周期相同，所以ω=2，…（7分）
又∵g（x）的图象过点（π6，2），∴cos（2×π6-π3）+k=2，
由此可得1+k=2，解得 k=1，…（8分）
∴g（x）=cos（2x-π3）+1，其值域为[0，2]，…（9分）
2kπ-π≤2x-π3≤2kπ，（k∈Z）…（10分）
∴kπ-π3≤x≤kπ+π6，（k∈Z），…（11分）
所以函数的单调增区间为[kπ-π3，kπ+π6]，（k∈Z）．…（12分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“设a=（2cosx，1），b=（cosx.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。