在平面上，给定非零向量b，对任意向量a，定义a′=a-2(a•b)|b|2b．若a=，b=，求a′；若b=，证明：若

题文

在平面上，给定非零向量b，对任意向量a，定义a′=a-2(a•b)|b|2b．
（1）若a=（2，3），b=（-1，3），求a′；
（2）若b=（2，1），证明：若位置向量a的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量a′的终点也在一条直线上；
（3）已知存在单位向量b，当位置向量a的终点在抛物线C：x²=y上时，位置向量a′终点总在抛物线C′：y²=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量b满足什么关系？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a=（2，3），b=（-1，3），
∴a•b=7，|b|2=10，可得2(a•b)|b|2b=2×710（-1，3）=（-75，215）
因此a′=a-2(a•b)|b|2b=（2，3）-（-75，215）=（175，-65）；
（2）设a=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上
算出a•b=2x'+y'，|b|2=5，2(a•b)|b|2b=2(2x′+y′)5（2，1）=（8x′+4y′5，4x′+2y′5），
∴a′=a-2(a•b)|b|2b=（x'，y'）-（8x′+4y′5，4x′+2y′5）=（-3x′-4y′5，-4x′+3y′5）
因此，若a′=（x，y），满足x=-3x′-4y′5y=-4x′+3y′5，得到x′=-3x-4y5y′=-4x+3y5
∵点（-3x-4y5，-4x+3y5）在直线Ax+By+C=0上
∴A×-3x-4y5+B×-4x+3y5+C=0，化简得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程
即向量a′的终点也在一条直线上；
（3）∵b是单位向量，
∴设a=（x，y），b=（cosθ，sinθ），可得a•b=xcosθ+ysinθ，
所以a′=a-2(a•b)|b|2b=a-2（xcosθ+ysinθ）b=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
∵a的终点在抛物线x²=y上，且a′终点在抛物线y²=x上，
∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）²，
化简整理，通过比较系数可得cosθ=22，sinθ=-22或cosθ=-22，sinθ=22
∴b=±（22，22），
∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，
∴l的方向向量d=（1，1）．
可得d•b=0，即d⊥b，因此直线l与向量b垂直．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“在平面上，给定非零向量b，对任意向量a，.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。