设A，B为圆x2+y2=1上两点，O为坐标原点求证：OA+OB与OA-OB垂直．当∠xOA=π4，∠xOB=θ，θ∈(-π4，π

题文

设A，B为圆x²+y²=1上两点，O为坐标原点（A，O，B不共线）
（1）求证：OA+OB与OA-OB垂直．
（2）当∠xOA=π4，∠xOB=θ，θ∈(-π4，π4)且OA•OB=35时，求sinθ的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵A，B为圆x²+y²=1上两点，O为坐标原点
∴|OA|=|OB|=1，
又∵（OA+OB）•（OA-OB）
=OA2-OB2
=|OA|2-|OB|2
=1-1=0
∴OA+OB⊥OA-OB…（4分）
（2）∵∠xOA=π4，∠xOB=θ，θ∈(-π4，π4)
∴A(cosπ4，sinπ4)，B(cosθ，sinθ)
∴OA•OB=cosπ4cosθ+sinπ4sinθ=sin(π4+θ)=35…（8分）
∵θ∈(-π4，π4)
∴θ+π4∈(0，π2)
∴cos(θ+π4)=45…（10分）
sinθ=sin(θ+π4-π4)=sin(θ+π4)cosπ4-cos(θ+π4)sinπ4=-210

解析

OA

考点

据考高分专家说，试题“设A，B为圆x2+y2=1上两点，O为坐.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。