已知A为抛物线y=x2上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于点B，P∈l，且AP=2PB．当A点运动时，求点P的轨迹方程；求点C(0，1

题文

已知A（a，a²）为抛物线y=x²上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于点B，P∈l，且AP=2PB．当A点运动时，求点P的轨迹方程；求点C(0，112)到动直线l的最短距离，并求此时l的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设P（x，y）因为y_A′=2x|_x=a=2a，所以过点A的切线方程为y-a²=2a（x-a）．
令x=0，则y=-a²，B点坐标为（0，-a²），
又AP=2PB，AP=（x-a，y-a²），PB=（-x，-a²-y）
∴x-a=-2xy-a2=2(-a2-y)化简得，x=a3y=-a23消去a，得y=-3x²
∴点P的轨迹方程为y=-3x²
（2）设C到l的距离为d，则d=112+a24a2+1=14[4a2+1-234a2+1]
设4a2+1=t(t≥1)，则d=14(t-23•1t)，d为t的增函数，
∴dmin=14(1-23)=112
故C到l的最短距离为112，此时l的方程为y=0．

解析

AP

考点

据考高分专家说，试题“已知A（a，a2）为抛物线y=x2上任意.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。