△OAB中，|AB|=10点C为直线AB上一点，且AC=tAB，(t∈R)，试用OA、OB表示OC．点C1、C2，…，C9依次为线段AB的10等分点

题文

△OAB中，|AB|=10
（1）点C为直线AB上一点，且AC=tAB，(t∈R)，试用OA、OB表示OC．
（2）点C₁、C₂，…，C₉依次为线段AB的10等分点，且OC1+OC2+…+OC9=λ(OA+OB)，求实数λ的值．
（3）条件同（2），又点P为线段AB上一个动点，定义关于点P的函数f(P)=|OP-OC1|+2|OP-OC2|+3|OP-OC3|+…+9|OP-OC9|+10|OP-OB|，求f（P）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在△OAB中AB=OB-OA
∴AC=tAB=tOB-tOA
∴OC=OA+AC=tOB+（1-t）OA
（2）∵C₁、C₂，…，C₉依次为线段AB的10等分点，
∴OC1=910OA+110OB；
OC2=810OA+210OB；
…
OCn=10-n10OA+n10OB；
…
OC9=110OA+910OB；
∴OC1+OC2+…+OC9=（110+210+…+910）(OA+OB)=92(OA+OB)
故λ=92
（3）设AP=xAC1，则
f(P)=|OP-OC1|+2|OP-OC2|+3|OP-OC3|+…+9|OP-OC9|+10|OP-OB|，
=|C1P|+2|C2P|+3|C3P|+…+9|C3P|+10|BP|
=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+…+9|x-9|+10|x-10|
当x∈[k，k+1]时，k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
f（x）=（x-1）+2（x-2）+…+k（x-k）+k（k+1-x）…+10（10-x）
=x+2x+…+kx-（k+1）x-（k+2）x-…-10x-1²-2²-…-k²+（k+1）²+（k+2）²+…+10²
=（k²+k-55）x-[1²+2²+…+k²-（k+1）²-（k+2）²-…-10²]
当k∈{0，1，2，3，4，5，6}时，k²+k-55＜0，函数为减函数
当k∈{7，8，9}时，k²+k-55＞0，函数为增函数
故当k=7时，f（P）取最小值f（7）=1×6+2×5+3×4+4×3+5×2+6×1+7×0+8×1+9×2+10×3=112

解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“△OAB中，|AB|=10（1）点C为直.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。