在平面直角坐标系xOy中，点F与点E关于原点O对称，M是动点，且直线EM与FM的斜率之积等于-12．设点M的轨迹为曲线C，经过点(0，2)且斜率为k

题文

在平面直角坐标系xOy中，点F与点E（-2，0）关于原点O对称，M是动点，且直线EM与FM的斜率之积等于-12．设点M的轨迹为曲线C，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）设A(2，0)，曲线C与y轴正半轴的交点为B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设点M（x，y），由题意得点F（2，0），y-0x+2•y-0x-2= -1，化简可得 x²+y²=2，
故曲线C的方程为  x²+y²=2，表示以原点为圆心，以2为半径的圆．
（Ⅱ）∵点(0，2)是圆和y轴的交点，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，
∴线l与曲线C不能相切，∴k≠0．
（Ⅲ） 把直线l的方程 y-2=k（x-0）代入曲线C的方程 x²+y²=2 得，（1+k²）x²+22kx=0．
设P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），则  x₁+x₂=-22k1 +k2，x₁•x₂=0．
∴OP+OQ=（x₁+x₂，kx₁+2+kx₂+2 ）=（-22k1 +k2，-22k21 +k2+22 ）．
由B（0，2），A(2，0)，∴AB=（-2，2 ）．∵向量OP+OQ与AB共线，
∴-22k1 +k2•2-（-2）（-22k21 +k2+22 ）=0，4-4k1+k2=0，∴k=1．
即存在常数 k=1 满足题中的条件．

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系xOy中，点F与点E（-.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。