设x，y∈R，i，j、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若a=xi+j，b=xi+j且a2+b2=16．求点M的轨迹

题文

设x，y∈R，i，j、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若a=xi+（y+2）j，b=xi+（y-2）j且a²+b²=16．
（1）求点M（x，y ）的轨迹C的方程；
（2）过定点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP=OA+OB，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a=xi+（y+2）j，b=xi+（y-2）j且a²+b²=16，i，j为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，
∴x²+（y+2）²+x²+（y-2）²=16
∴点M（x，y ）的轨迹C的方程是x²+y²=4；
（2）假设存在直线l，设方程为y=kx+3，代入x²+y²=4可得（1+k²）x²+6kx+5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-6k1+k2，x₁•x₂=51+k2
由题意，OA⊥OB，则x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴x₁•x₂+k²x₁•x₂+3k（x₁+x₂）+9=0
∴51+k2+k2•51+k2+3k•（-6k1+k2）+9=0
∴k=±142
∴存在l且l的方程为y=±142x+3．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“设x，y∈R，i，j、为直角坐标系内x、.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。