设a，b是两个互相垂直的单位向量，已知向量m=ka+b，n=a+kb，(k＞0)且向量m与n夹角θ的余弦值为f(k)，求f的表达式．求f

题文

设a，b是两个互相垂直的单位向量，已知向量m=ka+b，n=a+kb，(k＞0)且向量m与n夹角θ的余弦值为f(k)，
（1）求f（k）的表达式．
（2）求f（k）的值域及夹角θ=60°时的k值．
（3）在（1）的条件下解关于k的不等式：f[f(k)]＜-3ak2+(a2+4)kk4+6k2+1，(a∈R)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a⊥b∴a•b=0，
∵|a|=|b|=1
∴m•n=(ka+b)(a+kb)=ka2+(1+k2 )a•b+kb2=2k
∵|m|2=(ka+b)2=1+k2，同理可得|n|2=1+k2  
∴f（k）=cosθ=m•n|m| |n|=2k1+k2（k＞0）…（4分）
（2）因为1+2k²≥2k当且仅当k=1时等号成立
所以f（k）∈（0，1]，
当θ=60°时，cosθ=2k1+k2=12
∴k=2±3  （8分）
（3）由（1）可得f[f（k）]=f（2k1+k2）=2×2k1+k21+(2k1+k2)2=4k(1+k2)1+6k2+k4＜-3ak2+(4+a2)k1+6k2+k4
⇔4k³+4k＜-3ak²+（4+a²）k
⇔k（4k²+3ak-a²）＜0
⇔4k(k+a)(k-a4)＜0，
∵k＞0
当a＞0时，解可得0＜k＜a4
当a=0时，解为k＜0且k＞0，此时k不存在
当a＜0时，解为0＜k＜-a
综上所述：当a＞0时，解集为{k|0＜k＜a4}；
当a=0时，解集为∅
当a＜0时，解集为{k|0＜k＜-a}（12分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“设a，b是两个互相垂直的单位向量，已知向.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。