题文
已知点
，曲线
上的动点
满足
,定点
，由曲线
外一点
向曲线
引切线
，切点为
，且满足
.
（1）求线段
长的最小值；
（2）若以
为圆心所作的圆
与曲线
有公共点，试求半径取最小值时圆
的标准方程. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
.
解析
本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用向量的点乘求出点
的轨迹方程，数形结合找出
，所以
，然后配方法求最值；第二问，利用两圆的位置关系列出不等式，用配方法求最值，得到圆心和半径，写出圆的标准方程.
试题解析：（Ⅰ）设
，则
，
∴
，
即
点轨迹(曲线
)方程为
，即曲线
是
． 2分
连
∵
为切点，
，由勾股定理有：
．
又由已知
，故
．
即：
，
化简得实数
间满足的等量关系为：
，即
．（4分）
∴
＝
，
故当
时，
即线段
长的最小值为
7分
（另法）由点
在直线
：
上．
∴
，即求点
到直线
的距离．
∴
（7分）
（Ⅱ）设
的半径为
，∵
与
有公共点，
的半径为1，
即
且
． 8分
而
， 9分
故当
时，
． 10分
此时
,
． 11分
得半径取最小值时
的标准方程为
． 13分
（另法）
与
有公共点，
半径最小时为与
外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心
到直线
的距离减去1，圆心
为过原点与
垂直的直线
与
的交点
．
．
又
，（10分）
解方程组
，得
．即
，
∴所求
标准方程为
．（13分）
考点
据考高分专家说，试题“已知点，曲线上的动点满足,定点，由曲线外.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。
