在平面直角坐标系中，已知向量a=，又点A，B，C(0≤θ≤π2)．若AB⊥a，且|AB|=5|OA|(O

题文

在平面直角坐标系中，已知向量a=（-1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤π2)．
（1）若AB⊥a，且|AB|=5|OA|(O为坐标原点），求向量OB；
（2）若向量AC与向量a共线，当k＞4，且tsinθ取最大值4时，求OA•OC． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点A（8，0），B（n，t），
∴AB=(n-8，t)，
∵AB⊥a，
∴AB•a=(n-8，t)•(-1，2)=0，
得n=2t+8．
则AB=(2t，t)，又|AB|=5|OA|，|OA|=8．
∴（2t）²+t²=5×64，
解得t=±8，
当t=8时，n=24；当t=-8时，n=-8．
∴OB=(24，8)或OB=(-8，-8)．
（2）∵向量AC与向量a共线，
∴t=-2ksinθ+16，tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-4k)2+32k．
∵k＞4，
∴0＜4k＜1，
故当sinθ=4k时，tsinθ取最大值32k，有32k=4，得k=8．
这时，sinθ=12，k=8，tsinθ=4，得t=8，则OC=(4，8)．
∴OA•OC=(8，0)•(4，8)=32．

解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系中，已知向量a=（-1，.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。