设两非零向量e1和e2不共线．如果AB=e1+e2，BC=2e1+8e2，CD=3，求证：A、B、D三点共线；试确定实数k，使ke1+

题文

设两非零向量e₁和e₂不共线．
（1）如果AB=e₁+e₂，BC=2e₁+8e₂，CD=3（e₁-e₂），求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使ke₁+e₂和e₁+ke₂共线；
（3）若|e₁|=2，|e₂|=3，e₁与e₂的夹角为60°，试确定k的值，使ke₁+e₂与e₁+ke₂垂直． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：AD=AB+BC+CD=6（e₁+e₂）=6AB，
∴AB∥AD，AB与AD有公共点A．
∴A、B、D三点共线．
（2）∵ke₁+e₂和e₁+ke₂共线，
∴存在λ使ke₁+e₂=λ（e₁+ke₂），
即（k-λ）e₁+（1-λk）e₂=0．
∵e₁与e₂为非零不共线向量，
∴k-λ=0且1-λk=0．
∴k=±1．
（3）由（ke₁+e₂）•（e₁+ke₂）=0，
k|e₁|²+（k²+1）e₁•e₂+k|e₂|²=0，得
k×2²+（k²+1）×2×3×cos60°+k×3²=0
⇒4k+3k²+3+9k=0⇒3k²+13k+3=0，
∴k=-13±1336．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设两非零向量e1和e2不共线．（1）如果.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。