平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点MN，若点C满足OC=tOM+(1-t)ON(t∈R)．求点C的轨迹方程；设点C的轨迹

题文

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点M（1，-3）N（5，1），若点C满足OC=tOM+(1-t)ON(t∈R)．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C的轨迹与抛物线y²=4x交于A、B两点，求证：OA⊥OB；
（Ⅲ）求以AB为直径的圆的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）：由OC=tOM+(1-t)ON(t∈R)
知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：y+3=1-(-3)4(x-1)即y=x-4（3分）
（Ⅱ）由y=x-4y2=4x⇒(x-4)2=4x⇒x2-12x+16=0（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴x₁x₂=16x₁+x₂=12（6分）
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-16（8分）
∴x₁x₂+y₁y₂=0故OA⊥OB（10分）
（Ⅲ）∵x₁+x₂=12，∴y₁+y₂=x₁+x₂-8=12-8=4
∴AB的中点C的坐标为（6，2）．
又∵OA⊥OB，∴|OC|=210为圆的半径．
∴所求圆的方程为（x-6）²+（y-2）²=40（14分）

解析

OC

考点

据考高分专家说，试题“平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。