已知向量a=，b=，c=．求向量b+c的长度的最大值；设α=π4，且a⊥，求cos

题文

已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），c=（-1，0）．
（1）求向量b+c的长度的最大值；
（2）设α=π4，且a⊥（b+c），求cosβ的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）b+c=（cosβ-1，sinβ），则
|b+c|²=（cosβ-1）²+sin²β=2（1-cosβ）．
∵-1≤cosβ≤1，
∴0≤|b+c|²≤4，即0≤|b+c|≤2．
当cosβ=-1时，有|b+c|=2，
所以向量b+c的长度的最大值为2．
（2）由（1）可得b+c=（cosβ-1，sinβ），
a•（b+c）=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos（α-β）-cosα．
∵a⊥（b+c），
∴a•（b+c）=0，即cos（α-β）=cosα．
由α=π4，得cos（π4-β）=cosπ4，
即β-π4=2kπ±π4（k∈Z），
∴β=2kπ+π2或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．

解析

b

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=（cosα，sinα），b=.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。