在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点F的距离与到定直线l1：x+y+2=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺

题文

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁为到定点F（22，22）的距离与到定直线l₁：x+y+2=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C₂是由曲线C₁绕坐标原点O按顺时针方向旋转45°形成的．
（1）求曲线C₁与坐标轴的交点坐标，以及曲线C₂的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞0）的直线l₂交曲线C₂于A、B两点，点N是点M关于原点的对称点．若AM=λMB，证明：NM⊥（NA-λNB）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）设P（x，y），由题意知曲线C₁为抛物线，并且有
(x-22)2+(y-22)2=|x+y+2|2，
化简得抛物线C₁的方程为：x²+y²-2xy-42x-42y=0．
令x=0，得y=0或y=42；再令y=0，得x=0或x=42，
所以，曲线C₁与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，42）和（42，0）．
点F（22，22）到l₁：x+y+2=0的距离为|22+22+2|2=2，
所以C₂是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知直线l₂的斜率k存在且不为零，
设直线l₂的方程为y=k（x-m），代入y²=4x得
y²-4ky-4m=0，可得y₁y₂=-4m．
由AM=λMB，得（m-x₁，-y₁）=λ（x₂-m，y₂），可得λ=-y1y2，
而N（-m，0），可得NA-λNB=（x₁+m，y₁）-λ（x₂+m，y₂）=（x₁-λx₂+（1-λ）m，y₁-λy₂）
∵NM=（2m，0），
∴NM•（NA-λNB）=2m[x₁-λx₂+（1-λ）m]=2m[y124+y1y2-y224+（1+y1y2）m]
=2m（y₁+y₂）•y1y2+4m4y2=2m（y₁+y₂）•-4m+4m4y2=0
∴对任意的λ满足AM=λMB，都有NM⊥（NA-λNB）．

解析

(x-22)2+(y-22)2

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为.....”主要考查你对 [用数量积判断两个向量的垂直关系 ]考点的理解。