已知非零向量a与b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直．求非零向量a与b的夹角．

题文

已知非零向量a与b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直．求非零向量a与b的夹角． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设非零向量a与b夹角为θ，则cosθ=a•b|a|•|b|，（3分）
由已知条件得(a+3b)•(7a-5b)=0(a-4b)•(7a-2b)=0，（5分）
即7a2+16a•b-15b2=0(1)7a2-30a•b+  8 b2=0(2)，（7分）
（2）-（1）得23b2-46a•b=0，即b2=2a•b，（9分）
代入（1）可得 b2=a2，即|b|=|a|，
所以cosθ=a•b|a|•|b|=12b2|b|2=12，而θ∈[0，π]，则有θ=π3．（12分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知非零向量a与b满足a+3b与7a-5.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。