已知|a|=1，|b|=2，a，b的夹角为π3，试求：a+b与a-b夹角的余弦值．使向量a+λb与λa-b的夹角为钝角时，λ的取值范围．

题文

已知|a|=1，|b|=2，a，b的夹角为π3，试求：
（1）a+b与a-b夹角的余弦值．
（2）使向量a+λb与λa-b的夹角为钝角时，λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵|a|=1，|b|=2，a、b的夹角为π3，
∴a•b=|a|×|b|cosπ3=1
（1）∵（a+b）²=a2+2a•b+b2=1+2×1+4=7，（a-b）²=a2-2a•b+b2=1-2×1+4=3，
∴|a+b|=7，|a-b|=3
设a+b与a-b的夹角为α，则
cosα=(a+b)(a-b)|a+b|•|a-b|=1-47×3=-217，
即a+b与a-b夹角的余弦值等于-217
（2）根据题意，不存在λ值，使向量a+λb与λa-b的夹角为π，
∴向量a+λb与λa-b的夹角为钝角时，可得
（a+λb）（λa-b）＜0，即λa2+（λ²-1）a•b-λb2＜0
将|a|=1，|b|=2和a•b=1代入，可得
λ+（λ²-1）-4λ＜0，整理得λ²-3λ-1＜0
解这个不等式，得3-132＜λ＜3+132
因此λ的取值范围是（3-132，3+132）．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知|a|=1，|b|=2，a，b的夹角.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。