两非零向量a，b满足：2a-b与b垂直，集合A={x|x2+x+|a||b|=0}是单元素集合．求a与b的夹角若关于t的不等式|a

题文

两非零向量a，b满足：2a-b与b垂直，集合A={x|x²+（|a|+|b|）x+|a||b|=0}是单元素集合．
（1）求a与b的夹角
（2）若关于t的不等式|a-tb|＜|a-mb|的解集为空集，求实数m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由2a-b与b垂直得(a-b)•b=0，即a•b=b22，
由A={x|x²+（|a|+|b|）x+|a||b|=0}是单元素集合得：
△=(|a|+|b|)2-4|a||b|=0，即|a|=|b|，
设a与b的夹角为θ，由夹角公式可得cosθ=a•b|a||b|=12b2|b|2=12，
故θ=π3，故a与b的夹角为π3
（2）关于t的不等式|a-tb|＜|a-mb|的解集为空集，则
不等式|a-tb|≥|a-mb|的解集为R，
从而a2-2a•b×t+t2b2≥a2-2a•b×m+m2b2对一切t∈R恒成立，
将a2=b2，2a•b=b2代入上式得：t²-t+m-m²≥0对一切t∈R恒成立，
∴△=1-4（m-m²）≤0，即（2m-1）²≤0，解得m=12

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“两非零向量a，b满足：2a-b与b垂直，.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。