已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量a与b的夹角．

题文

已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量a与b的夹角． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意可得，(a+3b)•(7a-5.b)=0(a-4b)•(7a-2.b)=0，
即7a2+16a•b-15b2=07a2-30a•b+8b2=0 整理可得，2a•b=b²，代入可得 a2=b²
∴cosα=a•b|a|•|b|=12|b|2|b|2=12
∵0°≤α≤180°  所以a与b的夹角为60⁰．
∵sinBb=sinCc=sinAa
∴sinB+sinCb+c=sinAa∴sinB+sinC=2sinA
且cosA=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc-a22bc=300-2bc2bc=3002bc-1=150bc-1
又bc≤(b+c2)2=100∴cosA≥32-1=12
又0＜A＜π∴0＜A≤π3
∴sinB+sinC≤3

解析

(a+3b)•(7a-5.b)=0(a-4b)•(7a-2.b)=0

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。