对任意两个非零的平面向量α和β，定义α⊗β=α•ββ•β．若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角θ∈，且a⊗b和b⊗a都在集合{n2|

题文

对任意两个非零的平面向量α和β，定义α⊗β=α•ββ•β．若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角θ∈（0，π4），且a⊗b和b⊗a都在集合{n2|n∈Z}中，则a⊗b=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意，可得
a⊗b=a•bb•b=|a|•|b|cosθ|b|2=|a|cosθ|b|=n2，
同理可得：b⊗a=|b|cosθ|a|=m2，其中m、n都是整数
将化简的两式相乘，可得cos²θ=mn4．
∵|a|≥|b|＞0，∴n≥m 且 m、n∈z，
∵a与b的夹角θ∈（0，π4），可得cos²θ∈（12，1）
即mn4∈（12，1），结合m、n均为整数，可得m=1且n=3，从而得a⊗b=n2=32
故答案为：32

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“对任意两个非零的平面向量α和β，定义α⊗.....”主要考查你对 [用数量积表示两个向量的夹角 ]考点的理解。