已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C1的方程；（

题文

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足QR•RS=0，求|QS|的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由e=33得2a²=3b²，又由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，
得b=2，a=3，∴椭圆C₁的方程为：x23+y22=1．（4分）
（2）由MP=MF₂得动点M的轨迹是以l₁：x=-1为准线，
F₂为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C₂的方程为y²=4x．（8分）
（3）Q（0，0），设R(y214，y1)，S(y224，y2)，
∴QR=(y214，y1)，RS=(y22-y214，y2-y1)，
由QR•RS=0，得y21(y22-y21)16+y1(y2-y1)=0，∵y₁≠y₂
∴化简得y2=-y1-16y1，（10分）
∴y22=y21+256y21+32≥2256+32=64（当且仅当y₁=±4时等号成立），
∵|QS|=(y224)2+y22=14(y22+8)2-64，
又∵y₂²≥64，∴当y₂²=64，即y₂=±8时|QS|min=85，
∴|QS|的取值范围是[85，+∞)．（13分）

解析

33

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。