给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴的一个端点到

题文

给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为3．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，求l₁，l₂的方程；
（3）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求AB•AD的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得：a=3，c=2，b=1，∴r=(3)2+12=2．
∴椭圆C的方程为x23+y2=1，其“准圆”的方程为x²+y²=4；
（2）由“准圆”的方程为x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取P（2，0），
设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为my=x-2，
联立my=x-2x23+y2=1，消去x得到关于y的一元二次方程（3+m²）x²+4m+1=0，
∴△=16m²-4（3+m²）=0，解得m=±1，
故直线l₁、l₂的方程分别为：y=x-2，y=-x+2．
（3）由“准圆”的方程为x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．
设点B（x₀，y₀），则D（x₀，-y₀）．
∴AB•AD=（x₀-2，y₀）•（x₀-2，-y₀）=(x0-2)2-y02，
∵点B在椭圆x23+y2=1上，∴x023+y02=1，∴y02=1-x023，
∴AD•AB=(x0-2)2-1+x023=43(x0-32)2，
∵-3＜x0＜3，
∴0≤43(x0-32)2＜7+43，
∴0≤AD•AB＜7+43，即AD•AB的取值范围为[0，7+43)

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。