已知复数z1=2sinθ-3i，z2=1+(2cosθ)i，θ∈[0，π]．若z1•z2∈R，求角θ；复数z1，z2对应的向量分别是a，b，存在θ使

题文

已知复数z1=2sinθ-3i，   z2=1+(2cosθ)i，   θ∈[0，π]．
（1）若z₁•z₂∈R，求角θ；
（2）复数z₁，z₂对应的向量分别是a，b，存在θ使等式（λa+b）•（a+λb）=0成立，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵z₁•z₂=(2sinθ-3i)(1+2icosθ)=(2sinθ+23cosθ)+(2sin2θ-3)i是实数，
∴2sin2θ-3=0，∴sin2θ=32，
∵0≤θ≤π，∴0≤2θ≤2π，∴2θ=π3或2π3，解得θ=π6或π3．
（2）∵a2+b2=(2sinθ)2+(-3)2+1+（2cosθ）²=8，
a•b=(2sinθ，-3)•(1，2cosθ)=2sinθ-23cosθ，
∴(λa+b)•(a+λb)=λ(a2+b2)+(1+λ2)a•b
=8λ+(1+λ2)(2sinθ-23cosθ)=0，
化为sin(θ-π3)=-2λ1+λ2，
∵θ∈[0，π]，∴(θ-π3)∈[-π3，2π3]，∴sin(θ-π3)∈[-32，1]．
∴-32≤-2λ1+λ2≤1，解得λ≥3或λ≤33．
实数λ的取值范围是(-∞，33)∪(3，+∞)．

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“已知复数z1=2sinθ-3i，z2=1.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。