已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F为定点，且满足PN+12NM=0，PM•PF=0．求动点N的轨迹E的方程；过点F且斜率为k

题文

已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足PN+12NM=0，PM•PF=0．
（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设N（x，y），则由PN+12NM=0，得P为MN的中点．
∴P(0，y2)，M(-x，0)．
∴PM=(-x，-y2)，PF=(1，-y2)．
∴PM•PF=-x+y24，即y²=4x．
∴动点N的轨迹E的方程y²=4x．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），由y=k(x-1)y2=4x，消去x得y2-4ky-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=4k，y1y2=-4．
假设存在点C（m，0）满足条件，则CA=(x1-m，y1)，CB=(x2-m，y2)，
∴CA•CB=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2
=(y1y24)2-m(y12+y224)+m2-4
=-m4[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3
=m2-(4k2+2)m-3．
∵△=(4k2+2)2+12＞0，
∴关于m的方程m2-(4k2+2)m-3=0有解．
∴假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立．

解析

PN

考点

据考高分专家说，试题“已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。