已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距为23，离心率为22，其右焦点为F，过点B作直线交椭圆于另一点A．若AB•BF=-6，求△

题文

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距为23，离心率为22，其右焦点为F，过点B（0，b）作直线交椭圆于另一点A．
（Ⅰ）若AB•BF=-6，求△ABF外接圆的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆N：x2a2+y2b2=13相交于两点G、H，设P为N上一点，且满足OG+OH=tOP（O为坐标原点），当|PG-PH|＜253时，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意知：c=3，e=ca=22，又a²-b²=c²，
解得：a=6，b=3，∴椭圆C的方程为：x26+y23=1．…（2分）
可得：B(0，3)，F(3，0)，设A（x₀，y₀），则AB=(-x0，3-y0)，BF=(3，-3)，
∵AB•BF=-6，∴-3x0-3(3-y0)=-6，即y0=x0-3．
由x026+y023=1y0=x0-3⇒x0=0y0=-3，或x0=433y0=33，
即A(0，-3)，或A(433，33)…（4分）
①当A的坐标为(0，-3)时，|OA|=|OB|=|OF|=3，
∴△ABF外接圆是以O为圆心，3为半径的圆，即x²+y²=3．…（5分）
②当A的坐标为(433，33)时，k_AF=1，k_BF=-1，所以△ABF为直角三角形，其外接圆是以线段AB为直径的圆，
圆心坐标为(233，233)，半径为12|AB|=153，
∴△ABF外接圆的方程为(x-233)2+(y-233)2=53．
综上可知：△ABF外接圆方程是x²+y²=3，或(x-233)2+(y-233)2=53．…（7分）
（Ⅱ）由以上可得，椭圆N：即 x26+y23=13，即 x22+y2 =1．
由题意可知直线GH的斜率存在，设GH：y=k（x-2），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），P（x，y），
由y=k(x-2)x22+y2=1得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0得：k2＜12（*）． …（9分）
由于 x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2-21+2k2，∵|PG-PH|＜253，
∴|HG|＜253，即1+k2|x1-x2|＜253，∴(1+k2)[64k4(1+2k2)2-4×8k2-21+2k2]＜209，
∴k2＞14，再结合（*）得：14＜k2＜12．…（11分）
∵OG+OH=tOP，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）
从而x=x1+x2t=8k2t(1+2k2)，y=y1+y2t=1t[k(x1+x2)-4k]=-4kt(1+2k2)．
∵点P在椭圆上，∴[8k2t(1+2k2)]2+2[-4kt(1+2k2)]2=2，整理得：16k²=t²（1+2k²），
即t2=8-81+2k2，∴-2＜t＜-263，或263＜t＜2，
即实数t的取值范围为 （-2，-263∪（263，2）．…（13分）

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。